Question

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，PE=PB．
（1）求证：①PE=PD； ②PE⊥PD；
（2）设AP=x，△PBE的面积为y．求出y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）利用三角形全等得出，∠PBC=∠PDC，由PB=PE，∴PE=PD．要证PE⊥PD；从三方面分析，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，当点E在BC的延长线上时．
（2）作出三角形的高，用未知数表示出即可．

解答：解：①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°．
∵PC=PC，
∴△PBC≌△PDC（SAS）．
∴PB=PD，∠PBC=∠PDC．
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
②（i）如图1，当点E在线段BC上（E与B、C不重合）时，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
 而∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．
（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图2．
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
综合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；

（2）如图3，过点P作PF⊥BC，垂足为F，
∵PB=PE，
∴BF=FE．
∵AP=x，AC=

2

，∠ACB=45°，PF⊥BC，
∴PC=

2

-x，PF=FC=

2

2

(

2

-x)=1-

2

2

x．
BF=FE=1-FC=1-（1-

2

2

x）=

2

2

x．
∴S_△PBE=

1

2

EB•FP=BF•PF=

2

2

x（1-

2

2

x）=-

1

2

x2+

2

2

x．
即y=-

1

2

x2+

2

2

x（0＜x＜

2

）．

点评：此题主要考查了正方形的性质，以及函数关系式的得出方法．