Question

已知等腰直角三角形ABC的腰长为4，半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，则半圆的半径为             

Answer 1

2或﹣4+．

 解：①∵半圆的直径在△ABC的斜边上，且半圆的弧与△ABC的两腰相切，切点为D、E，

如图，连接OD，OA，

∵AB与⊙O相切，

∴OD⊥AB，

∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，

∴AO⊥BC，

∴OD∥AC，

∵O为BC的中点，

∴OD=AC=2．

②∵半圆的直径在△ABC的腰上，且半圆的弧与△ABC的斜边相切，切点为D，

如图2，连接OD，设半圆的半径为r，

∴OB=4﹣r，

∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，

∴∠B=45°，

∴△OBD是等腰直角三角形，

∴OD=BD=r，

∴2r²=（4﹣r）²，解得r=﹣4+4，r=﹣4﹣4（舍去），

故答案为2或﹣4+4．