Question

观察等式找规律：
①a₁=2²-1=1×3；
②a₂=4²-1=3×5；
③a₃=6²-1=5×7；
…
（1）写出表示a₄，a₅的等式；
（2）写出表示a_n的等式（用字母n表示）；
（3）求

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…

1

a2013

的值．

Answer 1

分析：（1）根据a₁，a₂，a₃的值，可直接得出a₄和a₅的值；
（2）根据a₁=（2×1）²-1=（2-1）×（2+1），a₂=（2×2）²-1=（4-1）×（4+1），找出规律，可得出a_n=（2×n）²-1=4n²-1=（2n-1）（2n+1）；
（3）根据（2）得出的规律，再找出

1

a1

，

1

a2

，

1

a3

的式子规律，分子不变，为1，分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1，根据这规律把数代入计算即可．

解答：解：（1）∵a₁=2²-1=1×3；a₂=4²-1=3×5；a₃=6²-1=5×7；
∴a₄=8²-1=7×9；
a₅=10²-1=9×11；
（2）∵a₁=（2×1）²-1=（2-1）×（2+1），
a₂=（2×2）²-1=（4-1）×（4+1），
a₃=（2×3）²-1=（6-1）×（6+1），
…，
a_n=（2×n）²-1=4n²-1=（2n-1）（2n+1）；
（3）∵a₁=2²-1=1×3；a₂=4²-1=3×5；a₃=6²-1=5×7；

1

a1

=

1

3

=

1

1×3

=

1

2

（1-

1

3

）；

1

a2

=

1

3×5

=

1

2

×（

1

3

-

1

5

）；

1

a3

=

1

5×7

=

1

2

×（

1

5

-

1

7

）；
∴

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…

1

a2013

=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

×（

1

4025

-

1

4027

），
=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

4025

-

1

4027

），
=

1

2

×（1-

1

4027

），
=

2013

4027

．

点评：此题考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．