Question

【题目】如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点.直线经过点，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.

①求面积最大值和此时的值；

②是直线上一动点，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当时，② ，

【解析】

（1）求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）①过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，根据△PBC面积＝×PH×OB，利用二次函数的性质即可求解；②分AB是平行四边形的边，AB是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）∵直线经过点B，C，

∴点B、C的坐标分别为：（4，0）、（0，2），

将点B、C的坐标代入抛物线表达式，得，

解得：，

∴抛物线的表达式为：；

（2）①过点P作y轴的平行线交直线BC于点H，

则点P（m，），点H（m，），

∴△PBC面积＝×PH×OB＝×4×（）＝2m2＋8m＝2(m-2)2+8，

∴当m＝2时，面积存在最大值8；

②设点P（m，），点Q（n，），

令，解得：，

∴点A的坐标为：（，0），

当AB是平行四边形的边时，点A向右平移个单位得到B，

同样点P（Q）向右平移个单位得到Q（P），

则m±＝n，＝，

解得：m＝（舍去）或（舍去）或，

∴此时P点坐标为或；

当AB是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：m＋n＝，，

解得：m＝或（重复，舍去）；

综上点P的坐标为：或．