Question

【题目】如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AD=12，AM=MC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题；

（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，可得R2+122=9R2，推出R=3，推出OD=3，MC=6，由，可得DP=6，再利用相似三角形的性质求出MD即可解决问题.

（1）如图，连接OD、OP、CD，

∵，∠A=∠A，

∴△ADM∽△APO，

∴∠ADM=∠APO，

∴MD∥PO，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OM，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

∵OP=OP，OD=OC，

∴△ODP≌△OCP，

∴∠ODP=∠OCP，

∵BC⊥AC，

∴∠OCP=90°，

∴OD⊥AP，

∴PD是⊙O的切线；

（2）如图，连接CD，由（1）可知：PC=PD，

∵AM=MC，

∴AM=2MO=2R，

在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，

∴R2+122=9R2，

∴R=3，

∴OD=3，MC=6，

∵，

∴DP=6，

∵O是MC的中点，

∴，

∴点P是BC的中点，

∴BP=CP=DP=6，

∵MC是⊙O的直径，

∴∠BDC=∠CDM=90°，

在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，

∴BM=6，

∵△BCM∽△CDM，

∴，即，

∴MD=2，

∴．