Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．
（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF=5，cos∠C=

4

5

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连接OB、OA或连接BD，由AB=AC，则∠ABC=∠C，由AF=AE，则∠EBA=∠FBA，从而得出∠ABD+∠FBA=90°，即OB⊥BF，
则BF是⊙O切线；
（2）由（1）得∠C=∠D，再由cos∠C=

4

5

，得

BF

DF

=

3

5

，则

BF

BD

=

3

4

，从而求出BD．

解答：证明：（1）BF与⊙O相切，连接OB、OA，连接BD（1分），
∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°，
∴BD是直径，∴BD过圆心
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
∵AD⊥AB，
∴∠ABD+∠D=90°，
∵AF=AE，
∴∠EBA=∠FBA，
∴∠ABD+∠FBA=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O切线（4分）；

（2）∵∠C=∠D，cos∠C=

4

5

，
∴cos∠D=

4

5

，
∵BF=5，
∴

BD

DF

=

4

5

，
∴

BF

DF

=

3

5

，
∴BD=

4

3

×5=

20

3

，
∴直径为

20

3

（8分）．

点评：本题考查了切线的判定和解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．