Question

(2005·厦门)已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE＝∠CBP，BE＝BP，

(1)求证：△CPB≌AEB；

(2)求证PB⊥BE；

(3)若PA∶PB＝1∶2，∠APB＝135°，求cos∠PAE的值．

Answer 1

答案：略
解析：

解法1　(1)证明∵四边形ABCD是正方形 　　∴BC＝AB 　　∵∠CBP＝∠ABE　BP＝BE 　　∵△CBP≌△ABE (2)∵证明∠CBP＝∠ABE 　　∴∠PBE＝∠ABE＋∠ABP＝∠CBP＋∠ABP＝90° 　　∴PB⊥BE 　　解法2 (1)、(2)两小题可以一起证明． 　　证明：∵∠CBP＝∠ABE 　　∴∠PBE＝∠ABE＋∠ABP=∠CBP＋∠ABP＝90° 　　∴PB⊥BE　以B为旋转中心，把△CBP按顺时针方向旋转90°， 　　∵BC＝AB　∠CBA＝∠PBE＝90°　BE＝BP 　　∴△CBP与△ABE重合 　　∴△CBP≌△ABE 　　解　(3)连接PE 　　∵BE＝BP　∠PBE＝90° 　　∴∠BPE＝45° 　　设AP为k，则BP＝BE＝2k 　　∴∴ 　　∵∠BPA＝135°　∠BPE＝45° 　　∴∠APE＝90°∴AE＝3k 　　在直角△APE中：．