题目内容
如图，在矩形ABCD中，对角线AC=10，点B到AC的距离为4，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG⊥AC交CD边于G，连接HG．（1）求∠ACB的正切值；
（2）设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S，若点E的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）当t取何值时，以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切？
【答案】分析：（1）过点B作BM⊥AC于点M，根据两角对应相等的两三角形相似得出△AMB∽△BMC，由相似三角形对应边成比例得出BM：MC=AM：BM，即BM2=AM•MC，设MC=x，列出方程，解方程求出x的值，根据三角函数的定义即可求出∠ACB的正切值；
（2）分三种情况讨论：①点H在直角边AD上；②点H在直角边CD上，且H在G的左边；③点H在直角边CD上，且H在G的右边．先用含t的代数式分别表示HE，GF，EF，再利用梯形的面积公式S=
（GF+HE）•EF，即可求解；
（3）以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切时，根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，得出EH+FG=EF．再分三种情况讨论：①点H在直角边AD上；②点H在直角边CD上，且H在G的左边；③点H在直角边CD上，且H在G的右边．先用含t的代数式分别表示HE，GF，EF，再根据EH+FG=EF列出方程，解方程即可．
解答：
解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，则BM=4，
由题意可得，∠ACB=∠ABM=90°-∠CBM，
又∵∠AMB=∠BMC=90°，
∴△AMB∽△BMC，
∴BM：MC=AM：BM，即BM2=AM•MC，
设MC=x，则AM=10-x，
∴42=x（10-x），
解得x=2或x=8（不合题意，舍去）．
∴tan∠ACB=
=
=2；
（2）①当点H在直角边AD上时，如原题图．
由题意知，AE=CF=t，EF=10-2t，
在Rt△AHE中，tan∠DAC=tan∠ACB=
=2，
∴HE=2t，同理 GF=
t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=
（
t+2t）（10-2t）=-
t2+
t，
即S=-
t2+
t（0＜t≤2）；
②当点H在直角边CD上，且H在G的左边时，如备用图1．
由题意得，AE=CF=t，EF=10-2t，EC=10-t，HE=
（10-t），GF=
t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=
[
（10-t）+
t]（10-2t）=25-5t，
即S=25-5t（2＜t＜5）；
③当点H在直角边CD上，且H在G的右边时，如备用图2．
由题意得，AE=CF=t，EF=2t-10，EC=10-t，HE=
（10-t），GF=
t，
∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=
[
（10-t）+
t]（2t-10）=5t-25，
即 S=5t-25（5＜t≤8）；
（3）设以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切，
那么应满足EH+FG=EF．
①当点H在直角边AD上时，
∵HE=2t，GF=
t，EF=10-2t，
∴2t+
t=10-2t，解得t=
．
∵0＜t≤2，∴t=
不合题意，舍去；
②当点H在直角边CD上，且H在G左边时，
∵HE=
（10-t），GF=
t，EF=10-2t，
∴
（10-t）+
t=10-2t，
解得t=
，符合题意；
③当点H在直角边AD上，且H在G右边时，
∵HE=
（10-t），GF=
t，EF=2t-10，
∴
（10-t）+
t=2t-10，
解得t=
，符合题意；
综上，可知当t=
或
时，以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切．
点评：本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，梯形的面积，圆与圆的位置关系，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
（2）分三种情况讨论：①点H在直角边AD上；②点H在直角边CD上，且H在G的左边；③点H在直角边CD上，且H在G的右边．先用含t的代数式分别表示HE，GF，EF，再利用梯形的面积公式S=
（GF+HE）•EF，即可求解；（3）以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切时，根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，得出EH+FG=EF．再分三种情况讨论：①点H在直角边AD上；②点H在直角边CD上，且H在G的左边；③点H在直角边CD上，且H在G的右边．先用含t的代数式分别表示HE，GF，EF，再根据EH+FG=EF列出方程，解方程即可．
解答：
解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，则BM=4，由题意可得，∠ACB=∠ABM=90°-∠CBM，
又∵∠AMB=∠BMC=90°，
∴△AMB∽△BMC，
∴BM：MC=AM：BM，即BM2=AM•MC，
设MC=x，则AM=10-x，
∴42=x（10-x），
解得x=2或x=8（不合题意，舍去）．
∴tan∠ACB=
==2；（2）①当点H在直角边AD上时，如原题图．
由题意知，AE=CF=t，EF=10-2t，
在Rt△AHE中，tan∠DAC=tan∠ACB=
=2，∴HE=2t，同理 GF=
t，∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=（t+2t）（10-2t）=-t2+t，即S=-
t2+t（0＜t≤2）；②当点H在直角边CD上，且H在G的左边时，如备用图1．
由题意得，AE=CF=t，EF=10-2t，EC=10-t，HE=
（10-t），GF=t，∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=
[（10-t）+t]（10-2t）=25-5t，即S=25-5t（2＜t＜5）；
③当点H在直角边CD上，且H在G的右边时，如备用图2．
由题意得，AE=CF=t，EF=2t-10，EC=10-t，HE=（10-t），GF=t，∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=
[（10-t）+t]（2t-10）=5t-25，即 S=5t-25（5＜t≤8）；
（3）设以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切，
那么应满足EH+FG=EF．
①当点H在直角边AD上时，
∵HE=2t，GF=
t，EF=10-2t，∴2t+
t=10-2t，解得t=．∵0＜t≤2，∴t=
不合题意，舍去；②当点H在直角边CD上，且H在G左边时，
∵HE=
（10-t），GF=t，EF=10-2t，∴
（10-t）+t=10-2t，解得t=
，符合题意；③当点H在直角边AD上，且H在G右边时，
∵HE=
（10-t），GF=t，EF=2t-10，∴
（10-t）+t=2t-10，解得t=
，符合题意；综上，可知当t=
或时，以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切．点评：本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，梯形的面积，圆与圆的位置关系，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
练习册系列答案
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