Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-（m+1）x+m（m是常数）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且A、B两点在原点两侧．　
（1）求A、B两点的坐标（可用含m的代数式表示）；
（2）若S_△ABC=6，求抛物线的解析式；
（3）设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，试判断△ACD的形状，并求tan∠ACB的值．

Answer 1

解：（1）令y=0，则x²-（m+1）x+m=0，
∴x₁=m，x₂=1，
∵点A在点B左侧，且A、B两点在原点两侧．
∴A（m，0）B（1，0）；

（2）抛物线与y轴交于点C（0，m），
∵A、B两点在原点两侧，
∴m＜0，
∴|AB|=|1-m|=1-m，|OC|=|m|=-m，
∵S_△ABC=6，
∴，
∴m=-3，m=4（舍去），
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3；

（3）抛物线的顶点D（-1，-4），
AD=，，，
∴AD²=AC²+CD²，
∴△ACD是直角三角形，
过点B作BE⊥AC于点E，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵AB=4，
∴AE=BE=，，
∴tan∠ACB=．
分析：（1）根据x²-（m+1）x+m=0，求出方程的根，即可得出A，B的坐标；
（2）利用|AB|=|1-m|=1-m，|OC|=|m|=-m，S_△ABC=6，得出m的值即可得出抛物线的解析式；
（3）利用勾股定理逆定理求出△ACD是直角三角形，再利用∠OAC=∠OCA=45°，得出tan∠ACB的值．
点评：此题主要考查了一元二次方程的解法以及三角形的面积和勾股定理的应用，此题比较典型综合性较强，注意分析计算要认真做到计算的正确率．