Question

类比学习：
我们已经知道，顶点在圆上，且角的两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图1，∠APB就是圆周角，弧AB是∠APB所夹的弧．
类似的，我们可以把顶点在圆外，且角的两边都和圆相交的角叫做圆外角，如图2，∠APB就是圆外角，弧AB和弧CD是∠APB所夹的弧，
新知探索：
图（2）中，弧AB和弧CD度数分别为80°和30°，∠APB=

25

°，
归纳总结：
（1）圆周角的度数等于它所夹的弧的度数的一半；
（2）圆外角的度数等于

所夹两弧的度数差的一半

．
新知应用：
直线y=-x+m与直线y=-

3

3

x+2相交于y轴上的点C，与x轴分别交于点A、B．经过A、B、C三点作⊙E，点P是第一象限内⊙E外的一动点，且点P与圆心E在直线AC的同一侧，直线PA、PC分别交⊙E于点M、N，
设∠APC=θ．
①求A点坐标；         ②求⊙E的直径；
③连接MN，求线段MN的长度（可用含θ的三角函数式表示）．

Answer 1

分析：新知探索：
根据弧AB和弧CD度数分别为80°和30°，得出∠BDA=40°，∠DAC=15°，再利用三角形外角的性质求出∠APB即可；
归纳总结：
根据由图2所求∠APB的度数，进而求出圆外角的度数等于所夹两弧的度数差的一半，
新知应用：
①直线y=-

3

3

x+2与y轴的交点可以求出，把这点的坐标就可以求出直线y=-x+m的解析式，两个函数与x轴的交点就可以求出；
②根据三角函数可以求出角的度数．根据OC、OA、OB的长度根据三角函数可以根据三角函数求出角的度数；
③根据正弦定理就可以解决．

解答：解：新知探索：
∵弧AB和弧CD度数分别为80°和30°，
∴∠BDA=40°，∠DAC=15°，
∴∠APB=∠BDA-∠DAC=15°，
故答案为：25；
归纳总结：
（2）根据上面所求可以得出：圆外角的度数等于所夹两弧的度数差的一半，
故答案为：所夹两弧的度数差的一半； 

新知应用：
①直线y=-

3

3

x+2中令x=0，
解得y=2，因而C点的坐标是（0，2），
把（0，2）代入直线y=-x+m，
解得m=2，
∴解析式是y=-x+2，
令y=0，解得x=2，则A点的坐标是（2，0），

②在y=-

3

3

x+2中令y=0，
解得x=2

3

，则B的坐标是（2

3

，0）；
根据A、B、C的坐标得到OC=2，OA=2，OB=2

3

，
根据三角函数得到：tan∠CBO=

CO

BO

=

3

3

，
故∠ABC=30°．
如图1，连接AE，CE，过点E作EW⊥y轴于点W，ET⊥x轴于点T，
则∠AEC=60°，
∴△ACE是等边三角形，边长是2

2

，
∵∠WCE=180°-∠OCA-∠ECA=75°，
∠EAT=180°-∠CAO-∠EAC=75°，
∴∠WCE=∠EAT，
在△WCE和△TAE中，

∠EWC=∠ETA ∠WCE=∠TAE CE=AE

，
∴△WCE≌△TAE，
∴WE=ET，
∵ET⊥AB，
∴AT=BT，
∵AB=OB-OA=2

3

-2，
∴AT=

3

-1，
∴OT=

3

+1，故ET=

3

+1，
因而E的坐标是（

3

+1，

3

+1），
故AE=

( 3 +1)2+( 3 -1)2

=2

2

，
即半径是2

2

，故⊙E的直径为4

2

，

③如图2所示：MN为⊙E中任一弦，它对的圆周角为∠B，当AM为直径，
则∠ANM为直角，则sinB=sinA=

MN

AM

，
即MN=AM•sinA①（其实就是正弦定理），
根据点P在⊙E外，如图3，连接AN，
则∠MAN=∠ANC-∠P=∠ABC-∠P=30°-θ，
由①得：MN=4

2

sin（30°-θ）．

点评：本题主要考查了圆的综合应用以及待定系数法求函数解析式，并且考查了三角函数的定义等知识，利用当AM为直径得出MN=AM•sinA继而得出答案是解题关键．