Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=，点E是AD的三等分点，且AEDE，过点E作EF∥AB交BC于F，并作射线DC和AB，点P、Q分别是射线DC和射线AB上动点，点P以每秒1个单位的速度向右平移，且始终满足∠PQA=60°，设P点运动的时间为．

（1）当点Q与点B重合时，求DP的长度；
（2）设AB的中点为N，PQ与线段BE相交于点M，是否存在点P，使△为等腰三角形？若存在，请直接写出时间的值；若不存在，请说明理由．
（3）设△与四边形的重叠部分的面积为S，试求S与的函数关系式和相应的自变量的取值范围．

Answer 1

（1）3 （2），  ，  （3）

试题分析：（１）如图１，过点Ｐ作ＰＨ垂直于AB；

∵∠PQA=60°，AD=3；
∴PH=3．
∴．
∴DP=DC﹣CP=6﹣3=3．
（2）存在存在点P，使△为等腰三角形
，  ， ；
（3）设△与四边形的重叠部分的面积为S
，Q与B点重合，P点在CD边的中点处，此时△是等边三角形，则它与四边形的重叠部分的面积S=；当时△与四边形的重叠部分的面积S=；当，△与四边形的重叠部分的面积S=；当，△与四边形的重叠部分的面积S=，综上所述△与四边形的重叠部分的面积

点评：本题考查三角函数、等腰三角形，函数关系式，要求学生掌握三角函数的定义，等腰三角形的性质，会求函数的解析式，本题考查多个知识点，难度较大