Question

如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；

（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵点在抛物线上，

∴，∴，

∴抛物线的解析式为．

∵，

∴顶点D的坐标为． 

（2）△ABC是直角三角形．当时，，∴，则．

当时，，∴，则．

 ∴,,  ∴．
∵,,,

∴,  

∴△ABC是直角三角形． 

（3）作出点C关于轴的对称点C′，则．

连接C′D交轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．  

设直线C′D的解析式为，则：

则，解得，

∴   当时，，则，

∴．