Question

【题目】如图所示，在中，，，是边上的任意一点，作交的延长线于点，连接、，于点．

(1)若，．求．

(2)求证：．

Answer 1

【答案】（1）18；（2）见解析.

【解析】

（1）由∠ABC=90°、AB=BC知∠BCA=45°，根据∠ACE=75°得∠BCE=30°，再证∠BAD=∠ECD=30°，从而得AB=2BF=6，根据三角形面积公式可得；

（2）在AF上截取AP=CE，连接BP，先证△ABP≌△CBE得BP=BE，即可证明．

解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∵∠ACE=75°，

∴∠BCE=30°，

∵CE⊥AE，

∴∠DEC=∠ABC=90°，

∵∠ADB=∠CDE，

∴∠BAD=∠ECD=30°，

∵BF=3，且BF⊥AE，

∴AB=2BF=6，则S△ABC=ABBC=×6×6=18；

（2）如图，在AF上截取AP=CE，连接BP，

∵CE⊥AE，

∴∠DEC=∠ABC=90°，

∵∠ADB=∠CDE，

∴∠BAD=∠ECD，

在△ABP和△CBE中，

∴△ABP≌△CBE（SAS），

∴BP=BE，∠ABP=∠CBE，

∴∠PBE=90°，∠EPB=45°，

∴∠APB=135°，

∴∠CEB=∠APB=135°

∴.