Question

【题目】如图，已知点A是双曲线y= 在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线y= 上运动，则k的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣3
【解析】解：设A（a， ），

∵点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB⊥OC，OC= AO，

∵AO= ，

∴CO= ，

如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），

设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD，

即 = ，

解得y=﹣ a2x．

在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，

即y2+x2=3a2+ ，

将y=﹣ a2x代入，可得：

x2= ，

故x= ，y=﹣ a，

则xy=﹣3 ，即k=﹣3 ．

所以答案是：﹣3 ．

【考点精析】利用反比例函数的性质和等边三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．