Question

【题目】如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．

（1）证明：四边形CEGF是正方形；

（2）探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝2，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AG＝BE，理由见解析；（3）BC=3．

【解析】

（1）先说明GE⊥BC、GF⊥CD，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可证明；

（2）连接CG，证明△ACG∽△BCE，再应用相似三角形的性质解答即可；

（3）先证△AHG∽△CHA可得，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，求出AH=a，DH=a，CH= ，最后代入即可求得a的值．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，

∵GE⊥BC、GF⊥CD，

∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，

∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，

∴EG＝EC，

∴四边形CEGF是正方形．

（2）结论：AG＝BE；

理由：连接CG，

由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，

在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝， ，

∴ ，

∴△ACG∽△BCE，

∴，

∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；

（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，

∴∠BEC＝135°，

∵△ACG∽△BCE，

∴∠AGC＝∠BEC＝135°，

∴∠AGH＝∠CAH＝45°，

∵∠CHA＝∠AHG，

∴△AHG∽△CHA，

∴，

设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，

则由，得，

∴AH＝a，

则DH＝AD﹣AH＝a，，

∴，得 ，

解得：a＝3，即BC＝3．