Question

【题目】如图①，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴交于点．已知的面积是．

（1）求的值；

（2）在内是否存在一点，使得点到点、点和点的距离相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图②，是抛物线上一点，为射线上一点，且、两点均在第三象限内，、是位于直线同侧的不同两点，若点到轴的距离为，的面积为，且，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）-3；（2）存在点，使得点到点、点和点的距离相等；（3）坐标为

【解析】

（1）令，求出x的值即可求出A、B的坐标，令x=0，求出y的值即可求出点C的坐标，从而求出AB和OC，然后根据三角形的面积公式列出方程即可求出的值；

（2）由题意，点即为外接圆圆心，即点为三边中垂线的交点，利用A、C两点的坐标即可求出、的中点坐标，然后根据等腰三角形的性质即可得出线段的垂直平分线过原点，从而求出线段的垂直平分线解析式，然后求出AB中垂线的解析式，即可求出点的坐标；

（3）作轴交轴于，易证，从而求出，利用待定系数法和一次函数的性质分别求出直线AC、BP的解析式，和二次函数的解析式联立，即可求出点P的坐标，然后利用SAS证出，从而得出，设，利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出m，从而求出点Q的坐标．

解：（1）

令，即

解得，

由图象知：

，

∴AB=1

令x=0，解得y=

∴点C的坐标为

∴OC=

解得：，（舍去）

（2）存在，

由题意，点即为外接圆圆心，即点为三边中垂线的交点

，，

，、的中点坐标为

线段的垂直平分线过原点，

设线段的垂直平分线解析式为：，

将点的坐标代入，得

解得：

∴线段的垂直平分线解析式为：

由，，

线段的垂直平分线为

将代入，

解得：

存在点，使得点到点、点和点的距离相等

（3）作轴交轴于，则

∴

、到的距离相等，

设直线，

将，代入，得

解得

即直线，

∴设直线解析式为：

直线经过点

所以：直线的解析式为

联立，

解得：

点坐标为

又，

，

设AP与QB交于点G

∴GA=GQ，GP=GB

，

在与中

，

，

设

由得：

解得：，（当时，，故应舍去）

坐标为．