题目内容
【题目】如图①，抛物线
与
轴交于
，
两点（点位于点的左侧），与
轴交于点
．已知
的面积是
．
（1）求
的值；
（2）在内是否存在一点
，使得点到点、点和点的距离相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，
是抛物线上一点，
为射线
上一点，且、两点均在第三象限内，、是位于直线
同侧的不同两点，若点到轴的距离为
，
的面积为
，且
，求点的坐标．
【答案】（1）-3；（2）存在点
，使得点
到点
、点
和点
的距离相等；（3）
坐标为
【解析】
（1）令
，求出x的值即可求出A、B的坐标，令x=0，求出y的值即可求出点C的坐标，从而求出AB和OC，然后根据三角形的面积公式列出方程即可求出
的值；
（2）由题意，点即为
外接圆圆心，即点为三边中垂线的交点，利用A、C两点的坐标即可求出、的中点
坐标，然后根据等腰三角形的性质即可得出线段
的垂直平分线过原点，从而求出线段的垂直平分线解析式，然后求出AB中垂线的解析式，即可求出点的坐标；
（3）作
轴交
轴于，易证
，从而求出
，利用待定系数法和一次函数的性质分别求出直线AC、BP的解析式，和二次函数的解析式联立，即可求出点P的坐标，然后利用SAS证出
，从而得出
，设
，利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出m，从而求出点Q的坐标．
解：（1）
令，即
解得
，
由图象知：
，
∴AB=1
令x=0，解得y=
∴点C的坐标为
∴OC=
解得：
，
（舍去）
（2）存在，
由题意，点即为外接圆圆心，即点为三边中垂线的交点
，
，
，、的中点坐标为
线段的垂直平分线过原点，
设线段的垂直平分线解析式为：
，
将点的坐标代入，得
解得：
∴线段的垂直平分线解析式为：
由
，
，
线段
的垂直平分线为
将代入，
解得：
存在点，使得点到点、点和点的距离相等
（3）作轴交轴于，则
∴
、到
的距离相等，
设直线
，
将，
代入，得
解得
即直线
，
∴设直线解析式为：
直线经过点
所以：直线的解析式为
联立
，
解得：
点
坐标为
又
，
，
设AP与QB交于点G
∴GA=GQ，GP=GB
，
在
与
中
，
，
设
由
得：
解得：
，
（当时，
，故应舍去）
坐标为．
