Question

【题目】如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且．

（1）求一次函数和的表达式；

（2）在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）反比例函数的图象记为曲线，将向右平移3个单位长度，得曲线，则平移至处所扫过的面积是_________．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）反比例函数解析式为；一次函数的解析式为y=2x-5；（2）存在，，，，；（3）27

【解析】

（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，根据勾股定理求出OA，得到OB的长，求出点B的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据勾股定理求出AB，分AB＝AC、BC＝AB两种情况，根据勾股定理列方程计算，得到答案；
（3）分别把x＝1、x＝4代入反比例函数解析式求出函数值，求出平行四边形EFNM的面积，求出C1平移至C2处所扫过的面积．

解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数的图象上，

∴a=4×3=12，

∴反比例函数解析式为；

∵，OA=OB，点B在y轴负半轴上，

∴点B（0，-5）．

把点A（4，3）、B（0，-5）代入y=kx+b中，

得：，解得：，

∴一次函数的解析式为y=2x-5．

（2）存在,

∵点A（4，3），点B（0，-5）

∴

设点C的坐标为（m，0），

①△ABC为等腰三角形，

当时，

则

∴，

∴C的坐标为或

②当时，

则

∴，

∴C的坐标为或

综上所述：，，，

（3）设点E的横坐标为1，点F的横坐标为4，点M、N分别对应点E、F，如图所示．

令中x＝1，则y＝12，

∴E（1，12）；

令中x＝4，则y＝3，

∴F（4，3），

∵EM∥FN，且EM＝FN，

∴四边形EMNF为平行四边形，

∴S＝EM（yEyF）＝3×（123）＝27．

C1平移至C2处所扫过的面积正好为平行四边形EMNF的面积．
故答案为：27．