Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=4，把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合，则EF=________．

Answer 1

分析：根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出△ABG≌△C′DG；由可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=4-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值；由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=2，再根据tan∠ABG即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结论．
解答：解：∵△BDC′由△BDC翻折而成，
∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，
∴∠ABG=∠ADE，
∵在△ABG与△C′DG中，
，
∴△ABG≌△C′DG（ASA）；
∴GD=GB，
∴AG+GB=AD，设AG=x，则GB=4-x，
在Rt△ABG中，
∵AB²+AG²=BG²，即3²+x²=（4-x）²，
解得：x=，
∴tan∠ABG===；
∵△AEF是△DEF翻折而成，
∴EF垂直平分AD，
∴HD=AD=2，
∴tan∠ABG=tan∠ADE=，
∴EH=HD×=2×=，
∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，
∴HF是△ABD的中位线，
∴HF=AB=×3=，
∴EF=EH+HF=+=．
故答案为：．
点评：本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．