Question

（2012•重庆模拟）如图（1），四边形OABC是菱形，边长为4，∠AOC=60°，垂直于OC的直线l从O点出发，沿射线OC向右以每秒1个单位长度的速度平移，设直线l经过B点时停止运动，设运动时间为t（s），t＞0．
（1）求出直线l经过A点时t的值；
（2）△OMN的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）直线l开始运动的同时，如图（2），P点从B点出发，沿着BC-CO向O点以每秒2个单位长度的速度平移，则是否存在l的值，使△PMN为等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由四边形OABC是菱形可以得出OA=AB=BC=CO=4，由l⊥OC可以得出∠MNO=90°，而∠AOC=60°，就有∠OMN=30°，就有ON=

1

2

OM，从而就可以求出l经过A点时ON的长度，由时间=路程÷速度就可以求出t值；
（2）是一个分段函数，根据三角形的面积公式当0＜t≤2，2＜t≤4和4＜t＜6时分别表示出△OMN的面积即可；
（3）分情况讨论当0＜t≤2时，分三种情况，如图6，图7，图8，分别求出t的值；当2＜t≤

8

3

时，如图9，MN=NP=2

3

＞2（舍去）；当

8

3

＜t≤4时，如图12，可以求出t的值，然后综合得出t值的结论即可．

解答：解：（1）如图11，∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=4．
∵l⊥OC，
∴∠MNO=90°．
∵∠AOC=60°，
∴∠OMN=30°，
∴ON═

1

2

OA，
∴ON=2，
∴t=2÷1=2；

（2）由题意，得
当0＜t≤2时，如图1，
∵ON=t，
∴OM=2t，
在Rt△MON中，由勾股定理，得
MN=

3

t．
∵S_△MON=

ON•MN

2

，
∴S_△MON=

t• 3 t

2

=

3 t2

2

；
当2＜t≤4时，如图4，
作AE⊥OC于E，
∴∠AEO=90°，
在Rt△AEO中由勾股定理，得
AE=2

3

．
∴MN=2

3

．
∵S_△MON=

ON•MN

2

，
∴S_△MON=

t•2 3

2

=

3

t；
当4＜t＜6时，如图5，
∵CD=t-4，
∴DN=（t-4）

3

，
∴MN=6

3

-

3

t，
∴S_△MON=

MN•OD

2

=

t(6 3 - 3 t)

2

=-

3

2

t²+3

3

t；

（3）当0＜t≤2时，如图6，
当PM=PN时，如图6，
作PD⊥OC的延长线于点D，作PE⊥MN于点E，
∴四边形ENDP是矩形，
∴EN=PD．
∵ON=t，∠AOC=90°，
∴MN=

3

t．
∵PM=PN，
∴NE=

1

2

MN=

3 t

2

．
∵PB=2t，
∴PC=4-2t，
∴CD=2-t，
∴PD=2

3

-

3

t，
∴

3 t

2

=2

3

-

3

t，
∴t=

4

3

；
当NP=MN时，如图7，
∴NP²=MN²，．
∵MN²=3t²，NP²=（4-t+2-t）²+[（2-t）

3

]²，=7t²-36t+48，
∴3t²=7t²-36t+48，
∴t₁=

9+ 33

2

＞2（舍去），t₂=

9- 33

2

当MP=MN时，如图8，作PE⊥OA于E，CF⊥OA与F，
∴PE=2

3

，PC=EF=4-2t，OF=2，
∴ME=2t-2-（4-2t）=4t-6，
∴MP²=（4t-6）²+（2

3

）²=16t²-48t+48．
∵MN2=3t²．
∴3t²=16t²-48t+48．此时无解．
当2＜t≤

8

3

时，如图9，
MN=NP=2

3

＞2（舍去）
当

8

3

＜t≤4时，如图12，
MN=NP=2

3

∵CP=2t-4，CN=t-4，
∴PN=3t-8
∴3t-8=2

3

，
∴t=

2 3 +8

3

∴存在l的值，使△PMN为等腰三角形，t₁=

4

3

，t₂=

9- 33

2

，t₃=

2 3 +8

3

．

点评：本题是一道动点问题的四边形综合试题，考查了菱形的性质的运用，勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答第三问是难点，根据等腰三角形的性质建立方程是解答本题的关键．