Question

矩形纸片ABCD中，AD=12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．
（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；
（2）如图2，，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；
（3）如图3，，点D的对应点F在PQ上．
①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；  ②当n越来越大时，AE的长越来越接近于______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中点，可得，从而可得∠AFP=30°，∠FAD=60°然后利用三角函数值即可求解．
（2）根据，求得FP，利用DE=EF，∠AED=∠AEF，∠AED=∠FGE，求证EF=GF，设DE=x，则GF=x利用△APG∽△ADE的对应边成比例可求的AE．
（3）①可得，②当n越来越大时，根据可判定AE的长．
解答：解：（1）∵P、Q是矩形ABCD中AD，BC的中点，
∴，
∴∠AFP=30°，
∴，
∴∠FAD=60°，
∴，
∴，

（2）∵，
∴
∴，
∵DE=EF，∠AED=∠AEF，∠AED=∠FGE，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
设DE=x，则GF=x
∵△APG∽△ADE，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；

（3）①可得，
②∵，
∴当n越来越大时，AE越来越接近于12．
故答案为：12．

点评：此题涉及到相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）等知识点，综合性较强，特别是翻折变换（折叠问题）要求学生应具备一定的空间想象能力，因此此题有一定的拔高难度，属于难题．