Question

【题目】如图，在中，是原点，（0，3），（4，0），是的角平分线．

（1）确定所在直线的函数表达式；

（2）在线段上是否有一点，使点到轴和轴的距离相等，若存在,求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在线段上是否有一点，使是等腰三角形，若存在，直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）直线AB的解析式为：；（2）点的坐标为（1，1）；（3）点Q的坐标为：（，）.

【解析】

（1）直接利用待定系数法求解即可；

（2）过点C作CE⊥AB，设OC＝CE＝x，则BC＝4-x，求出BE＝2，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理构建方程求出OC得到C点坐标，求出直线AC的解析式，联立直线AC的解析式和y=x，求出交点坐标即可；

（3）作线段AB的垂直平分线QH交AC于Q，交AB与H，设出直线QH的解析式，求出点H的坐标，代入可得直线QH的解析式，联立直线QH与直线AC的解析式，求出交点坐标即可.

解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，

代入A（0，3），B（4，0）得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为：；

（2）过点C作CE⊥AB，

∵AC平分∠OAB，

∴OC＝CE，

∴设OC＝CE＝x，则BC＝4-x，

易证△AOC≌△ACE，则AE＝OA＝3，

∵AB，

∴BE＝5－3＝2，

在Rt△BCE中，CE2＋BE2＝BC2，即x2＋22＝(4-x)2，

解得：，

∴C（，0），

设直线AC的解析式为：y=mx+n，

代入A（0，3），C（，0）得：，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y=－2x+3，

∵点在线段上，且到轴和轴的距离相等，

∴点P在直线y=x上，

联立，解得：，

∴点的坐标为（1，1）；

（3）∵点Q在线段AC上，△AQB是等腰三角形，

∴如果存在，只有AQ＝BQ一种情况，

作线段AB的垂直平分线QH交AC于Q，交AB与H，

∵直线AB的解析式为：，

∴ 设直线QH的解析式为：，

∵A（0，3），B（4，0），

∴H（2，），

将点H（2，）代入得：，

解得：，

∴直线QH的解析式为：，

联立直线QH与直线AC解析式得：，

解得：，

∴点Q的坐标为：（，）.