Question

7．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①；
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．
（1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
（3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？

Answer 1

分析 （1）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；
（2）根据矩形旋转是圆柱，可得几何体，根据圆柱的体积公式，可得答案；
（3）根据矩形旋转所的几何体的大小比较，可得答案．

解答 解：（1）方案一：π×3²×4=36π（cm³），
方案二：π×2²×6=24π（cm³），
∵36π＞24π，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
（2）方案一：π×（$\frac{5}{2}$）²×3=$\frac{75}{4}$π（cm³），
方案二：π×（$\frac{3}{2}$）²×5=$\frac{45}{4}$π（cm³），
∵$\frac{75}{4}$π＞$\frac{45}{4}$π，
∴方案一构造的圆柱的体积大；
（3）由（1）、（2），得
以较长一组对边中点所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大．

点评 本题考查了点线面体，利用矩形旋转得圆柱是解题关键．