Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交  轴与点，交轴与两点（点在点的左侧），已知点坐标为．

（１）求此抛物线的解析式；

（２）过点作线段的垂线交抛物线与点，如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙的位置关系，并给出证明．

（３）在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（１）由题意可设此抛物线的解析式为：

此抛物线过点 ，

此抛物线的解析式为：，即

（２）此时抛物线的对称轴与⊙相离。证明：

令，即，得或，

设直线的解析式为：，则，

直线与直线垂直，直线可表示为：，

，，直线为：

点到直线的距离为：

点为圆心的圆与直线相切，⊙的半径为：

又点到抛物线对称轴的距离为：   而，。所以此时抛物线的对称轴与⊙相离。

（３）假设存在满足条件的点，，

，

①        当时，在中，由勾股定理，得

，整理，得

点在抛物线上，，

，解得或，或

 点为或（舍去）

②        当时，在中，由勾股定理，得

，整理，得

点在抛物线上，，

，解得或，或

 点为或（舍去）

综上，满足条件的点的坐标为或