Question

如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G.

（1）求证：EF＝EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；

Answer 1

（1）证明见解析；（2）是，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由四边形ABCD是正方形，点E与点A重合，易证得ED=EB，∠D=∠EBG=90°，又由∠GEF=90°，利用同角的余角相等，即可得∠BEG=∠DEF，然后利用ASA即可判定△BEG≌△DEF，则可证得EF=EG；

（2）首先过点E作EH⊥CD于H，作EK⊥BC于K，易证得四边形EKCH是正方形，同（1）即可证得△GEK≌△FEH，证得EF=EG．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，点E与点A重合，

∴ED=EB，∠D=∠EBG=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠BEG+∠BEF=∠BEF+∠DEF=90°，

∴∠BEG=∠DEF，

在△BEG和△DEF中，

，

∴△BEG≌△DEF（ASA），

∴EF=EG；

（2）成立．理由：

【解析】
过点E作EH⊥CD于H，作EK⊥BC于K，

∴∠EHC=∠EKC=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠HCE=45°，

∴四边形EKCH是矩形，∠HEC=∠HCE=45°，

∴EH=CH，

∴四边形EKCH是正方形，

∴EH=EK，∠EHF=∠EKG=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠GEK+∠KEF=∠KEF+∠FEH=90°，

∴∠GEK=∠FEH，

在△GEK和△FEH中，

，

∴△GEK≌△FEH（ASA），

∴EF=EG．

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质．