Question

在矩形ABCD中，DC=，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

Answer 1

（1）详见解析；（2）sin∠FBD=；BC=．

试题分析：（1）掌握三角形相似的判定方法，其中两角对应相等，两个三角形相似是最常用的方法.
（2）虽是求sin∠FBD，用的知识点都是三角形相似的性质，再用勾股定理，角的正弦公式可求出.
试题解析：证明：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．
（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴=，即可得：6x²=6，
解得：x=1，
则CF=3，
在Rt△CFD中，DF=，
∴BC=2DF=．