题目内容
【题目】如图，抛物线y=
x2+bx+c与y轴交于点C（0，-6），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（3，0）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
【答案】（1） y=
x2+x-6；（2）最大值为
.（3）（-3，-3）或（-
，-
）．
【解析】
试题分析：（1）把B点和C点坐标分别代入y=
x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）分三种情况进行讨论即可.
试题解析：（1）把点C（0，-6），B（3，0）分别代入y=
x2+bx+c中，
得b=1，c=-6，∴该抛物线的解析式为y=
x2+x-6
（2）令y=0，即
x2+x-6=0解得x1=-6，x2=3，∴A（-6，0），S△ABC=
AB×OC=27．
设P点坐标为（x，0），则PB=3-x．∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△BAC，
∴
，得S△PBE=
（3-x）2．
S△PCE=S△PCB-S△PBE=
PB×OC-S△PBE=
×（3-x）×6-
（3-x）2
=-
（x+
）2+
∴当x=-
时，S△PCE的最大值为
.
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：
（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=3，
∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，
∴M点的坐标为（-3，-3）；
（II）当MD=MO时，如答图②所示．
过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN=ON=
，AN=AD+DN=
，又△AMN为等腰直角三角形，
∴MN=AN=
，∴M点的坐标为（-
，-
）；
（III）当OD=OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为
×6=3
，即AC上的点与点O之间的最小距离为3
．
∵3
＞3，∴OD=OM的情况不存在．
综上所述，点M的坐标为（-3，-3）或（-
，-
）．
