Question

如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F．
（1）若△OAE、△OCF的而积分别为S₁、S₂．且S₁+S₂=2，求k的值．
（2）若OA=2，OC=4，当四边形AOFE的面积最大时，求点E、F的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）点E、F反比例函数y=（k＞0）图象上的点，S_△OAE=S_△OCF=，再由S₁+S₂=2即可求出k的值；
（2）四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，可设E（，2），F（4，），再由S_{四边形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF即可得出关于k的一元二次方程，由二次函数的顶点坐标可得出当k=4时，四边形AOFE的面积最大，故可得出E、F两点的坐标．
解答：解：（1）∵点E、F反比例函数y=（k＞0）图象上的点，
∴S_△OAE=S_△OCF=，
∴S₁+S₂=+=2，解得，k=2；
（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，
∴设E（，2），F（4，），
∴BE=4-，BF=2-，
∴S_△BEF=（4-）（2-）=k²-k+4，
∵S_△OAE=S_△OCF=×4×=，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S_{四边形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=8-（k²-k+4）-=-k²+k+4，
=-（k-4）²+5
∵a＜0，
∴开口向下，S四边形AOFE有最大值
∴当k=4时，四边形AOFE的面积最大，
∴AE==2，CF==1．
∴E（2，2），F（4，1）．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意用k表示出E、F两点的坐标，再根据三角形的面积公式求解是解答此题的关键．