Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，

3

），△AOB的面积是

3

．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由面积公式及A点纵坐标可求OB，确定B点坐标；
（2）抛物线过O（0，0），B（-2，0）两点，设抛物线交点式y=ax（x+2），将点A（1，

3

）代入求a即可；
（3）存在．根据抛物线的对称性，得出点O关于对称轴的对称点为B点，连接AB，与对称轴的交点C即为所求，根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，由对称轴x=-1求C点纵坐标．

解答：解：（1）由题意得：

1

2

OB•

3

=

3

，
∴OB=2，
∴B（-2，0）；

（2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，

3

），得a=

3

3

，
∴y=

3

3

x²+

2 3

3

x；

（3）存在点C．
B、O两点关于抛物线对称轴x=-1对称，连接AB交抛物线对称轴于C点连接OC、OA，C点即为所求．
设直线AB解析式为y=kx+b，将A、B两点坐标代入，得

k+b= 3 -2k+b=0

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴y=

3

3

x+

2 3

3

，
当x=-1时，y=

3

3

，∴C（-1，

3

3

）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法．