Question

【题目】在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（备注：在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半）

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）、证明见解析；（2）、t=10；（3）、t=或12，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）、根据Rt△ABC的性质得出AB=30cm，根据CD=4t，AE=2t以及Rt△CDF的性质得出答案；

（2）、根据DF∥AB，DF=AE，得出四边形AEFD是平行四边形，根据菱形的性质得出t的值；

（3）、本题需要分两种情况分别进行计算.当∠EDF=90°时，AD=2AE，从而求出t的值；当∠DEF=90°时，AE=2AD，从而求出t的值.

试题解析：（1）、∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，

∴AB=AC=×60=30cm

∵CD=4t，AE=2t， 又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，

∴DF=CD=2t

∴DF=AE

（2）、能。

∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10

∴当t=10时，AEFD是菱形

（3）、若△DEF为直角三角形，有两种情况：

①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=。

②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

则AE=2AD，即2t=2（60-4t），解得：t=12。

综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形