Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于P，已知A（2，3），B（1，1），D（4，3）．
（1）求证：BP=CP；
（2）求出直线AC的解析式；
（3）求出点P的坐标．

Answer 1

（1）证明：过点A作AF⊥BC，过点D作DE⊥BC，
∵AD∥BC，A（2，3），B（1，1），D（4，3），AB=CD，
∴BF=EC=1，C点坐标为：（5，1），
∴BE=3，FC=3，AF=DE=2，
∴在△AFC和△DEB中
，
∴△AFC≌△DEB（SAS），
∴∠DBE=∠ACF，
∴BP=CP；

（2）解：将A（2，3），C（5，1）代入y=kx+b得：
，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=-x+；

（3）解：∵BP=CP，
∴P点横坐标为B，C横坐标的平均值，
∵B点坐标为：（1，1），C点坐标为：（5，1），
∴P点横坐标为；3，
∵P点在直线AC上，
∴y=-×3+=，
∴P点坐标为：（3，）．
分析：（1）利用已知点坐标结合梯形的性质得出C点坐标以及各线段长度，进而利用SAS得出△AFC≌△DEB，再利用等腰三角形的判定得出即可；
（2）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）利用A，C点横坐标得出P点横坐标，进而利用一次函数图象上点的坐标性质得出P点纵坐标进而得出答案．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及图象上点的坐标性质和梯形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据梯形的性质得出C点坐标是解题关键．