题目内容
23、如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE=AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．分析：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，进而求证△AFM≌△EFB，得AM=BE FB=FM，即可求得BC+BE=AD+AM，进而求得BD=BM，根据等腰三角形三线合一的性质即可求证BF⊥DF．
解答：证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD
∵四边形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF=∠EBF∠E=∠MAF，
又FA=FE，
∴△AFM≌△EFB，
AM=BE FB=FM，
矩形ABCD中，AC=BD，AD=BC，
∴BC+BE=AD+AM，
即CE=MD，
∵CE=AC，
∴DB=DM，
∵FB=FM，
∴BF⊥DF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴MD∥BC，
∴∠AMF=∠EBF∠E=∠MAF，
又FA=FE，
∴△AFM≌△EFB，
AM=BE FB=FM，
矩形ABCD中，AC=BD，AD=BC，
∴BC+BE=AD+AM，
即CE=MD，
∵CE=AC，
∴DB=DM，
∵FB=FM，
∴BF⊥DF．
点评：本题考查了矩形各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB=DM是解题的关键．
练习册系列答案
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