Question

如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且BF=3CF．给出下列结论：①∠DAE=30°；②△ADE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ABF∽△ECF．其中正确的个数为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：根据已知首先证△FEC∽△EAD，通过观察发现两个三角形已经具备一组对应角相等，再利用两边对应成比例即可得出三角形相似，进而求出即可，再分别利用相似三角形的判定与解直角三角形的知识求出即可．
解答：∵正方形ABCD，E为CD中点，
∴CE=ED=DC=AD，
∴tan∠DAE==，
∴∠DAE≠30°，故①∠DAE=30°错误；
∵正方形ABCD，E为CD中点，
∴CE=ED=DC．
∵BF=3FC，
∴FC= ED，CE=AD．
∴==，
∵∠C=∠D=90°，
∴△FEC∽△EAD．
∴∠FEC=∠DAE，
∵∠DAE+∠DEA=90°
∴∠DEA+∠FEC=90°，
∴AE⊥EF．故③AE⊥EF正确；
假设正方形边长为4a，
∴FC=a，EC=2a，
∴EF=a，
∵DE=2a，AD=4a，
∴AE=2a，
∴==，
∵∠AEF=∠D=90°，
∴△ADE∽△AEF，
故②△ADE∽△AEF正确；
∵=，
=，
∴≠，
∴△ABF与△ECF不相似，
故④△ABF∽△ECF错误．
故正确的有2个．
故选：B．
点评：此题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例是常用的方法．