Question

如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）试说明CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

Answer 1

解：（1）连接OC，如图1，

∵CA=CE，∠CAE=30°，

∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，

∴∠OCE=90°，

∴CE是⊙O的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，

由题可得CH=h．

在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，

∴h=OC•sin60°=OC，

∴OC==h，

∴AB=2OC=h；

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，

则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°．

∵OA=OF=OC，

∴△AOF、△COF是等边三角形，

∴AF=AO=OC=FC，

∴四边形AOCF是菱形，

∴根据对称性可得DF=DO．

过点D作DH⊥OC于H，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，

∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，

∴CD+OD=DH+FD．

根据两点之间线段最短可得：

当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，

此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，

则OF=4，AB=2OF=8．

∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．