Question

如图，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6），直线AC和直线OB相交于点M，点P是OA的中点，PD⊥AC，垂足为D．
（1）求直线AC的解析式；
（2）求经过点O、M、A的抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在Q，使得S_△PAD：S_△QOA=8：25？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意四边形OABC是矩形，点B的坐标为（8，6）可知：
A、C两点坐标为A（8，0），C（0，6），
设直线AC的解析式y=kx+b，
将A（8，0），C（0，6）两点坐标代入y=kx+b，
解得，
故直线AC的解析式为；

（2）由题意可知O（0，0），M（4，3），A（8，0），
设经过点O、M、A的抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将M（4，3），A（8，0），两点坐标代入y=ax²+bx，
得，
解得，
故经过点O、M、A的抛物线的解析式为；

（3）∵△AOC∽△ADP，
∴，
即，
解得PD=2.4，AD=3.2，S_△PAD=×PD×AD=，
∵S_△PAD：S_△QOA=8：25，
∴S_△QOA=12，
S_△QOA=×OA×|y_Q|=×8×|y_Q|=12，
解得|y_Q|=3，
又∵点Q在抛物线上，
所以=3或=-3，
解方程得x₁=4，x₂=4+4，x₃=4-4，
故Q点的坐标为、、Q（4，3）．
分析：（1）先求出A、C两点的坐标即可求出直线AC的解析式；
（2）求出O、M、A三点坐标，将三点坐标代入函数解析式便可求出经过点O、M、A的抛物线的解析式；
（3）根据题意先求出Q点的y坐标，在根据Q在抛物线上的关系求出Q点的横坐标，便可得出答案．
点评：本题是二次函数的综合题，是各地中考的热点和难点，其中涉及到的知识点有抛物线解析式的求法和三角形相似等，属于较难题．解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练．