Question

已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF.

(1)如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时.

①求证：DG=2PC；

②求证：四边形PEFD是菱形；

(2)如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想.

 

Answer 1

（1）

①证明：如图1

作PM⊥AD于点M

∵PD=PG，

∴MG=MD，

又∵MD=PC

∴DG=2PC                    

②证明：∵PG⊥FD于H

∴∠DGH+∠ADF= 90°                                      第25题 图1

又∵∠ADF+∠AFD= 90°

∴∠DGP=∠AFD              

∵四边形ABCD是正方形，PM⊥AD于点M，

∴∠A=∠PMD= 90°，PM=AD，

∴△PMG≌△DAF               

∴DF=PG

∵PG=PE

∴FD=PE，      

∵DF⊥PG，PE⊥PG

∴DF∥PE 

∴四边形PEFD是平行四边形.   

又∵PE=PD

∴□PEFD是菱形                

（2）四边形PEFD是菱形     

证明：如图②

∵四边形ABCD是正方形，DH⊥PG于H           

∴∠ADC=∠DHG=90°       

∴∠CDG=∠DHG=90°

∴∠CDP+∠PDG=90°，∠GDH+∠G=90°

∵PD=PG            

∴∠PDG=∠G

∴∠CDP=∠GDH                  

∴∠CDP=∠ADF                

又∵AD=DC，∠FAD=∠PCD=90°  

∴△PCD≌△FAD                 

       ∴FD=PD

       ∵ PD=PG=PE                     

∴FD=PE

又∵FD⊥PG，PE⊥PG                   

       ∴FD∥PE                            

∴四边形PEFD是平行四边形.     

又∵FD=PD        

       ∴□PEFD是菱形