题目内容
【题目】在数学兴趣小组活动中，小明将边长为2的正方形
与边长为
的正方形
按如图1方式放置，
与
在同一条直线上，
与
在同一条直线上．
（1）请你猜想
与
之间的数量与位置关系，并加以证明；
（2）在图2中，若将正方形绕点
逆时针旋转，当点
恰好落在线段上时，求出的长；
（3）在图3中，若将正方形绕点继续逆时针旋转，且线段与线段相交于点
，写出
与
面积之和的最大值，并简要说明理由．
【答案】（1）
，
，其理由见解析；（2）
；（3）6
【解析】
（1）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应角相等得∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，利用垂直的定义即可得DG⊥BE；
（2）由四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ADG与三角形ABE全等，利用全等三角形对应边相等得到DG=BE，如图2，连接
交
于
，则
=°=，在Rt△AMD中，求出AO的长，即为DO的长，根据勾股定理求出GO的长，进而确定出DG的长，即为BE的长；
（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的最大值．
（1）
证明：，，其理由是：
在正方形
和正方形
中，
有
，
，
，
∴
≌
，∴，
，
∵
，∴
延长
交
于
，则
，
∴.
（2）
解：在正方形和正方形中，
有，，，
∴
∴≌，∴
连接交于，则，
∴
，
，
∴
∴
（3）
与
面积之和的最大值为6，其理由是：
对于，
长一定，当到的长度最大时，的面积最大，由（1）（2）)△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：
对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；
对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，
则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6.
【题目】某校八年级数学实践能力考试选择项目中，选择数据收集项目和数据分析项目的学生比较多。为了解学生数据收集和数据分析的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据：从选择数据收集和数据分析的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：
数据收集 | 10 | 9.5 | 9.5 | 10 | 8 | 9 | 9.5 | 9 | 7 | 10 | 4 | 5.5 | 10 | 7.9 | 9.5 | 10 |
数据分析 | 9.5 | 9 | 8.5 | 8.5 | 10 | 9.5 | 10 | 8 | 6 | 9.5 | 10 | 9.5 | 9 | 8.5 | 9.5 | 6 |
整理，描述数据：按如下分数段整理，描述这两组样本数据：
|
|
|
| 10 | |
数据收集 | 1 | 1 | 3 | 6 | 5 |
数据分析 |
（说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格.）
分析数据：两组样本数据的平均数，中位数，众数如下表所示：
项目 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
数据收集 | 8.75 | 9.5 | 10 |
数据分析 | 8.81 | 9.25 | 9.5 |
得出结论：
（1）如果全校有480人选择数据收集项目，达到优秀的人数约为________人；
（2）初二年级的井航和凯舟看到上面数据后，井航说：数据分析项目整体水平较高.凯舟说：数据收集项目整体水平较高.你同意________的看法，理由为_______________________.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
