Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．
（1）如图2，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，
①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；
（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．

Answer 1

解：（1）①如图2∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA，
∵∠PDA=∠CDE，
∴∠PAD=∠CDE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠ABC=∠DEC，．
∴PB=PE．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴PB=PE=5-x，DE=PE-PD=5-x-x=5-2x，
∴，
∴y=-x+3（0＜x＜）；
②设BE的中点为Q，连结PQ，如图2，
∵PB=PE，
∴PQ⊥BE，
又∵∠ACB=90°，
∴PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴，即==，
∴PQ=-x+4，BQ=-x+3，
当以BE为直径的圆和⊙P外切时，-x+4=x+（-x+3），解得x=，即AP的长为；
（2）当点E在线段BC延长线上时，
由（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-x+4-x=-x+4，
CQ=BC-BQ=3-（-x+3）=x，
在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=（x）²+（-x+4）²=x²-x+16，
∵CI=AP，
∴x²-x+16=x²，
解得x₁=，x₂=4（不合题意，舍去），
∴AP的长为；
当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=x-（-x+4）=x-4，
CQ=BC-BQ=3-（-x+3）=x，
在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=（x）²+（x-4）²=x²-x+16，
∵CI=AP，
∴x²-x+16=x²，
解得x₁=（舍去），x₂=4，
∴AP的长为4，
综上所述，AP的长为或4．
分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由对顶角相等得∠PDA=∠CDE，则∠PAD=∠CDE，根据三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，则∠ABC=∠DEC，，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=5，则PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y关于x的函数关系式；
②设BE的中点为Q，连结PQ，由于PB=PE，根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，则△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-x+4（圆心距），BQ=-x+3（⊙Q的半径），根据两圆外切的性质得到-x+4=x+（-x+3），然后解方程即可；
（2）分类讨论：当点E在线段BC延长线上时，利用（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-x+4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，根据勾股定理得CI²=CQ²+IQ²=（x）²+（-x+4）²=x²-x+16，再由CI=AP得到x²-x+16=x²，解得x₁=，x₂=4，由于0＜x＜，由此得到AP的长为；
同理当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=x-4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，CI²=CQ²+IQ²=x²-x+16，利用CI=AP得到x²-x+16=x²，解得x₁=，x₂=4，由于＜x＜5，则AP的长为4，由此得到AP的长为或4．
点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握两圆相切的性质和三角形相似的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；能运用分类讨论的思想解决问题．