Question

（2013•河西区二模）已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为

4

2

．

Answer 1

分析：延长BA到D，使AD=BC，连接OD，OA，OC，利用正方形的性质和全等三角形的判定方法即可证明△BCO≌△DAO，由全等三角形的性质可证明△BOD是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出心O到点B的距离．

解答：解：如图，延长BA到D，使AD=BC，连接OD，OA，OC，
∵四边形ACEF是正方形，
∴∠AOC=90°，
∵∠ABC=90°，
∵∠ABC+∠AOC=180°，
∴∠BCO+∠BAO=180°，
∠BCO=∠ADO，
又∵CO=AO，
在△BCO与△DAO中，

BC=AD ∠BCO=∠ADO CO=AO

，
∴△BCO≌△DAO（SAS），
∴OB=OD，∠BOC=∠DOA，
∴∠BOD=∠COA=90°，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴BD=

2

OB，
∵BD=AB+AD=AB+BC=8，
∴OB=4

2

，
故答案为4

2

．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的运用，题图的难点体现在辅助线的添加上，题目的难度不小．