Question

【题目】已知在和中，，，，交于点，为线段上一动点，以每秒的速度从匀速运动到，过作直线，且，点在直线的右侧，设点运动时间为.

（1）当为等腰三角形时， ；

（2）当点在线段上时，过点作于点，求证；

（3）当点在线段上运动的过程中，的面积是否变化？若不变，求出它的值.

Answer 1

【答案】（1）3或6或；（2）见解析；（3）不变，S△ABQ=9.

【解析】

（1）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求BF的长，即可求t的值；
（2）由等腰三角形的性质可得∠AOB=90°，由“AAS”可证△AOF≌△FHQ；
（3）由“AAS”可证△AOF≌△FHQ，可得OF=QH=t-3，由面积的和差关系可求解．

（1）∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
若AB=AF时，即点F与点D重合，
∴BF=BD=6cm，
∴t==6，
若BF=AF时，
∴∠ABF=∠BAF=45°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BD，且AB=AD
∴BF=DF=3cm，
∴t==3，
若AB=BF=cm，
∴t==
故答案为：3或6或.
（2）如图1，

∵∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB=CB，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AF⊥FQ，QH⊥BD，
∴∠AFQ=∠FHQ=90°，
∴∠QFH+∠FQH=90°，∠AFO+∠QFH=90°，
∴∠AFO=∠FQH，AF=FQ，∠AOF=∠FHQ=90°
∴△AOF≌△FHQ（AAS）
（3）不变，
理由如下：如图2，过点Q作QH⊥BD，

∵∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB=CB，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AF⊥FQ，QH⊥BD，
∴∠AFQ=∠FHQ=90°，
∴∠QFH+∠FQH=90°，∠AFO+∠QFH=90°，
∴∠AFO=∠FQH，AF=FQ，∠AOF=∠FHQ=90°
∴△AOF≌△FHQ（AAS）
∴OF=QH=t-3，
∵S△ABQ=S△ABF+S△AFQ-S△BFQ=BF×AO+×AF2-×BF×QH
∴S△ABQ=×t×3+ [32+（t-3）2]-×t×（t-3）=9
故△ABQ的面积不发生变化．