已知:如图.在矩形ABCD中.AC是对角线.AB=4cm.BC=3cm．点P从点A出发.沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时.点Q从点B出发.沿BA方向匀逨运动.速度为1cm/s.过点P作PM⊥AD于点M.连接PQ.设运动时间为t(s)．解答下列问题:(1)当t为何值时.四边形PQAM是矩形?(2)是否存在某一时刻t.使S四边形PQAM=$\frac{9}{50}$S� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=4cm，BC=3cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀
逨运动，速度为1cm/s，过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）
（0＜t＜4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，四边形PQAM是矩形？
（2）是否存在某一时刻t，使S_{四边形PQAM}=$\frac{9}{50}$S_矩形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？

分析（1）首先根据四边形ABCD是矩形，求出AC的长度是多少；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△APQ∽△ACB，即可推得$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AC}$，据此求出t的值是多少即可．
（2）存在t=2，使S_{四边形PQAM}=$\frac{9}{50}$S_矩形ABCD．首先根据四边形ABCD是矩形，求出S_矩形ABCD的值是多少；然后分别求出△APM、△APQ的面积各是多少，再根据S_{四边形PQAM}=$\frac{9}{50}$S_矩形ABCD，求出t的值是多少即可．
（3）当t=2$\frac{2}{9}$或1$\frac{7}{9}$时，△APQ与△ABC相似．根据题意，分两种情况讨论：①当∠AQP=90°时，△APQ与△ABC相似；②当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似；求出当t为何值时，△APQ与△ABC相似即可．

解答解：（1）如图1，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
∵四边形PQAM是矩形，
∴PQ⊥AB，
又∵CB⊥AB，
∴PQ∥CB，
∴△APQ∽△ACB，
∴$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{AC}$，
即$\frac{4-t}{4}=\frac{t}{5}$，
解得t=2$\frac{2}{9}$，
∴当t为2$\frac{2}{9}$时，四边形PQAM是矩形．

（2）存在t=2，使S_{四边形PQAM}=$\frac{9}{50}$S_矩形ABCD．
如图2，，
∵四边形ABCD是矩形，
∴S_矩形ABCD=AB•BC=4×3=12，
∵PM⊥AD，CD⊥AD，
∴PM∥CD，
∴△APM∽△ACD，
∴$\frac{AM}{AD}=\frac{PM}{CD}=\frac{AP}{AC}$，
即$\frac{AM}{3}=\frac{PM}{4}=\frac{t}{5}$，
解得AM=$\frac{3}{5}t$，PM=$\frac{4}{5}$t，
∴S_△APM=$\frac{1}{2}$AM•PM=$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}t$×$\frac{4}{5}t$=$\frac{6}{25}$t²．
∵sin∠PAQ=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•AQ•sin∠PAQ=$\frac{1}{2}$t（4-t）×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{10}$t（4-t），
∵S_{四边形PQAM}=$\frac{9}{50}$S_矩形ABCD，
∴$\frac{6}{25}$t²+$\frac{3}{10}$t（4-t）=$\frac{9}{50}$×$12=\frac{54}{25}$，
整理，可得
t²-20t+36=0
解得t=2或t=18（舍去），
∴存在t=2，使S_{四边形PQAM}=$\frac{9}{50}$S_矩形ABCD．

（3）当t=2$\frac{2}{9}$或1$\frac{7}{9}$时，△APQ与△ABC相似．
①由（1），可得
当t=2$\frac{2}{9}$时，∠AQP=90°，PQ∥CB，△APQ与△ABC相似．

②如图3，，
当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似，
∵tan∠PAQ=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{PQ}{AP}=\frac{3}{4}$，
即$\frac{PQ}{t}=\frac{3}{4}$，
∴PQ=$\frac{3}{4}$t，
∵BQ=t，
∴AQ=4-t，
在Rt△APQ中，
∵AP²+PQ²=AQ²，
∴${t}^{2}{+（\frac{3}{4}t）}^{2}{=（4-t）}^{2}$，
解得t=1$\frac{7}{9}$或t=-16（舍去）．
综上，可得
当t=2$\frac{2}{9}$或1$\frac{7}{9}$时，△APQ与△ABC相似．

点评（1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了矩形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．

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