Question

如图，直线y＝x＋m与抛物线y＝x²－2x＋l交于不同的两点M、N（点M在点N的左侧）．
(1)设抛物线的顶点为B，对称轴l与直线y＝x＋m的交点为C，连结BM、BN，若S△MBC＝S△NBC，求直线MN的解析式；
(2)在(1)条件下，已知点P(t，0)为x轴上的一个动点，
①若△PMN为直角三角形，求点P的坐标．
②若∠MPN>90°，则t的取值范围是     ．

Answer 1

（1）直线MN的解析式为y=x+1；
（2）①若∠NMP₁=90°，则△MOP₁∽△FOM，P₁的坐标为（，0）；
若∠NMP₂=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP₂∽△FOM，P₂的坐标为（，0）；
若∠MP₃N=90°，则△MOP₃∽△FOM，P₃的坐标为（，0）；
②＜t＜．

试题分析：（1）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E，根据已知条件可求出m的值，进而得到直线解析式；
（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式y=x+1与x轴的交点为F，因为直角三角形的斜边不确定，所以要分三种情况分别讨论，求出符合题意的t值，即可求出P的坐标；②由①可知当若∠MPN=90°，P的坐标，进而可求出∠MPN＞90°，则t的取值范围．
试题解析：（1）设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，可得x²﹣5x+2﹣2m=0，
则x₁+x₂=5①，x₁•x₂=2﹣2m②．
过点M、N分别作MD⊥BC，NE⊥BC，垂足为D、E．
∵S_△MBC=S_△NBC，
∴MD=NE，即2﹣x₁=（x₂﹣2），
∴x₁=﹣x₂+ ③，
③代入①，得x₂=5，x₁=0，
代入②，得m=1，
∴直线MN的解析式为y=x+1；
（2）①由（1）知M（0，1），N（5，），设直线MN的解析式y=x+1与x轴的交点为F（﹣2，0）．
若∠NMP₁=90°，则△MOP₁∽△FOM，
∴，
∴t=，
∴P₁的坐标为（，0）；
若∠NMP₂=90°，过N作NH⊥x轴于H，则△NHP₂∽△FOM，
∴，
∴t=，
∴P₂的坐标为（，0）；
若∠MP₃N=90°，则△MOP₃∽△FOM，
∴，
∴2t²﹣10t+7=0，
解得：t=，
∴P₃的坐标为（，0）；
②由①可知P₃的坐标为（，0），
∵∠MPN＞90°，
∴＜t＜．
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