Question

如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于O，∠ABC的平分线交CD的延长线于F，⊙O′是△DEF的外接圆，G是⊙O上一点，且AG=CD．求证：BG∥OO′．

Answer 1

分析：先连接O′G，O′A，O′C，O′D，O′E，根据角平分线的性质得出O′D平分∠EDF，根据平角的性质得出∠AEO′=∠CDO′，再根据SAS证出△O′DC≌△O′EA，得出O′A=O′C，∠O′AC=∠O′CA，从而得出O为AC的中点，即可证出O′O⊥AC，再根据SSS证出△AGO′≌△CDO′，得出∠GAO′=∠DCO′，∠GAC=∠DCA=∠BAC，AG=CD=AB，得出BG⊥AC，最后根据垂直于同一直线的两直线平行，即可得出答案．

解答：证明：连接O′G，O′A，O′C，O′D，O′E，
∵BE平分∠ABC，且ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠EBC=∠AEB=∠FED=∠EFD，
∴AB=AE，ED=DF，
∴O′D平分∠EDF，
∵∠AEO′+∠O′ED=180°，∠O′DF+∠O′DC=180°，
又∵∠O′ED=∠O′DF，
∴∠AEO′=∠CDO′，
在△O′DC和△O′EA中，

O′E=O′D ∠AEO′=∠CDO′ AG=CD

，
∴△O′DC≌△O′EA（SAS），
∴O′A=O′C，
∴∠O′AC=∠O′CA，
∵ABCD为平行四边形，
∴O为AC的中点，
∴O′O⊥AC，
又∵AG=CD，
在△AGO′和△CDO′中，

O′E=O′D O′A=O′C GO′=O′D

，
∴△AGO′≌△CDO′（SSS），
∴∠GAO′=∠DCO′，
∴∠GAC=∠DCA=∠BAC，AG=CD=AB，
∴BG⊥AC，
∴BG∥OO′．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是角平分线的性质，平行四边形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是根据题意作出辅助线，再根据垂直于同一直线的两直线平行进行解答．