题目内容

如图所示，直线l：y=kx+b（k＞0）与y轴相交于点A₁，以OA₁为边作正方形OA₁B₁C₁，记作第一个正方形；然后延长C₁B₁与直线相交于点A₂，再以C₁A₂为边作正方形C₁A₂B₂C₂，记作第二个正方形；同样延长C₂B₂与直线相交于点A₃，再以C₂A₃为边作正方形C₂A₃B₃C₃，记作第三个正方形；…依此类推，又知B₁（1，1），B₂（3，2）．
（1）求直线l的解析式；
（2）第三个正方形的边长是多少？
（3）试推测第n个正方形的边长为多少？

解：（1）如图，∵B₁（1，1），B₂（3，2），
∴在正方形OA₁B₁C₁和正方形C₁A₂B₂C₂中，OA₁=C₁B₁=1，A₂C₁=B₂C₂=2，
∴到A₁（0，1），A₂（1，2），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得， $\text{[math]}$ ，
∴直线l的解析式为：y=x+1；

（2）根据题意不难得出第一个正方体的边长=1，
那么：n=1时，第1个正方形的边长为：1=2⁰
n=2时，第2个正方形的边长为：2=2¹
n=3时，第3个正方形的边长为：4=2²
即第三个正方形的边长是4；

（3）根据题意不难得出第一个正方体的边长=1，
那么：n=1时，第1个正方形的边长为：1=2⁰
n=2时，第2个正方形的边长为：2=2¹
n=3时，第3个正方形的边长为：4=2²
…
第n个正方形的边长为：2^n-1．
分析：（1）根据正方形的性质可以得到A₁（0，1），A₂（1，2），所以把它们的坐标分别代入已知直线方程，列出关于k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（2）、（3）题的关键是求出第一个正方体的边长，然后依次计算n=1，n=2…总结出规律．
点评：本题考查了一次函数综合题．解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．