Question

阅读下面材料：

小明观察一个由正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．

请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；

（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足于F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．

请你帮小明计算：OC=_______________；=_______________；

Answer 1

（1）作图见试题解析；（2）OC=，=5；（3）=．

【解析】

试题分析：（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；

（2）连结AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；

（3）如图，连结AE、BF，则AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可以求得．

试题解析：（1）如图，线段CD即为所求；

（2）连结AC、DB、AD、DE．∵AD=DE=2，∴AE=，∵CD⊥AE，∴DF=AF=，∵AC∥DB，∴△ACO∽△DBO，∴CO：DO=2：3，∴CO=CD==，∴DO=，∴OF==，∴==5；

（3）如图，连结AE、BF，则AF=，AB=，BF=2，AE=5，∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF，∴AO：OB=AE：FB=5：2，∴AO=AB=，在Rt△AOF中，OF=，∴==．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．锐角三角函数的定义．