如图.△ABC是边长为6的等边三角形.P是AC边上一动点.由A向C运动.Q是CB延长线上一点.与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动.过P作PE⊥AB于E.连接PQ交AB于D．(1)当∠BQD=30°时.求AP的长,(2)证明:在运动过程中.点D是线段PQ的中点,(3)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变.求出线段ED的长,如果变化请说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

分析（1）先判断出∠QPC是直角，再利用含30°的直角三角形的性质得出QC=2PC，建立方程求解决即可；
（2）先作出PF∥BC得出∠PFA=∠FPA=∠A=60°，进而判断出△DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出结论；
（3）利用等边三角形的性质得出EF=$\frac{1}{2}$AF，借助DF=DB，即可得出DF=$\frac{1}{2}$BF，最后用等量代换即可．

解答（1）解：设AP=x，则BQ=x，
∵∠BQD=30°，∠C=60°，
∴∠QPC=90°，
∴QC=2PC，即x+6=2（6-x），
解得x=2，
即AP=2．
（2）证明：如图，

过P点作PF∥BC，交AB于F，
∵PF∥BC，
∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°，
∴PF=AP=AF，
∴PF=BQ，
又∵∠BDQ=∠PDF，∠DBQ=∠DFP，
∴△DQB≌△DPF，
∴DQ=DP即D为PQ中点，
（3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，
理由：∵PF=AP=AF，PE⊥AF，
∴$EF=\frac{1}{2}AF$，
又∵△DQB≌△DPF，
∴$DF=DB，即DF=\frac{1}{2}BF$，
∴$ED=EF+DF=\frac{1}{2}（AF+BF）=\frac{1}{2}AB=3$．

点评此题是三角形综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△DQB≌△DPF是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较简单的中考常考题．

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