题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为
2
．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点精英家教网为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．
分析：（1）要靠辅助线来完成解题．延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G，根据题意求得坐标A，B，继而求出∠DAO=45°．然后根据点C的坐标求出CG=OG=2，故求得∠COG=45°，∠AOD=45°后可知∠ODA=90°，证得CO⊥AB．
（2）要使△PDA为等腰三角形，要分三种条件解答．即当OP=OA；当PO=PA以及AP=AC三种情况．
（3）当直线PO与⊙O相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥O．由点C的坐标为（-2，-2），易得CO=2
2
，求出∠COK=30°，同理求出∠POA的另一个值为15°．因为M为EF的中点，可以推出△COM∽△POD，然后根据线段比求出MO•PO=CO•DO．求出st的值．故当PO过圆心C时，可求出s的值．
解答：精英家教网（1）证明：延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
∵直线AB的函数关系式是y=-x+2，∴易得A（2，0），B（0，2）
∴AO=BO=2
又∵∠AOB=90°，∴∠DAO=45°（1分）
∵C（-2，-2），∴CG=OG=2
∴∠COG=45°，∠AOD=45°（2分）
∴∠ODA=90°，
∴OD⊥AB，即CO⊥AB（3分）

（2）解：要使△POA为等腰三角形
①当OP=OA时，此时点P与点B重合，∴点P坐标为（0，2）；
②当PO=PA时，由∠OAB=45°，∴点P恰好是AB的中点，∴点P坐标为（1，1）；
③当AP=AO时，则AP=2，过点P作PH⊥OA交于点H，在Rt△APH中，易得PH=AH=
2
，∴OH=2-
2
，∴点坐标为（2-
2
，
2
），
综上所述，P（0，2）、P（2-
2
，
2
）、P（1，1）；

（3）解：当直线PO与⊙O相切时，设切点为K，连接CK，则CK⊥OK，
精英家教网由点C的坐标为（-2，-2），易得CO=2
2
，
又∵⊙C的半径为
2
，∴∠COK=30°，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，∴∠POA=75°
同理可求出∠POA的另一个值为15°
∴∠POA等于75°或15°（10分）
∵M为EF的中点，∴CM⊥EF
又∵∠COM=∠POD．CO⊥AB
∴△COM∽△POD
∴
CO
PO
=
MO
DO
，即MO•PO=CO•DO
∵PO=t，MO=s，CO=2
2
，DO=
2
，∴st=4．
当PO过圆心C时，MO=CO=2
2
，PO=DO=
2
，即MO•PO=4，也满足st=4．∴s=
4
t
．（
2
≤t＜
2
6
3
）．
点评：本题难度偏大，考查的是一次函数的运用，圆的知识以及相似三角形的有关知识．考生要注意的是要根据最基本的一次函数循序解答，不可大意．
练习册系列答案
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（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
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5
29
5
29
．
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5
5
．
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k
x
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k
x
的解析式为（　　）
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（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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