题目内容

计算：1+
1
1+2
+
1
1+2+3
+…+
1
1+2+3+…+2008
的结果为
 
．
分析：根据有理数的加法法则可得：1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
．然后可推
1
1+2+3+…+n
=
1
n(n+1)
2
=2（
1
n
-
1
n+1
）；∴1=2（1-
1
2
）；
1
1+2
=2（
1
2
-
1
3
）；
1
1+2+3
=2（
1
3
-
1
4
）；
1
1+2+3+…+2008
=2（
1
2008
-
1
2009
）．把得到的结果等量代入原题可消去中间所有数剩下首尾两个数，找到规律．
解答：解：1+
1
1+2
+
1
1+2+3
+…+
1
1+2+3+…+2008

=2（1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2008
-
1
2009
）
=2（1-
1
2009
）
=
4016
2009
．
故答案为：
4016
2009
．
点评：这种规律性题目一定有规律可寻，要认真分析还要熟记公式．这种题目一般都是消去中间剩下首尾所以首先往这方面考虑．
练习册系列答案
相关题目
计算2+
2
+
1
1-
2
=
 
．
21、计算：3×11-6×（-5.5）
观察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4

将以上三个等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4

（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=
 
．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
2009×2010
=
 
； ②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
 
．
（3）探究并计算：
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2008×2010
=
 
．
观察下列等式
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
将以上三个等式两边分别相加得：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2007×2008
=
2007
2008
2007
2008
；
②
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=
n
n+1
n
n+1
．
19922-1991×1993的计算结果是
1
1
．

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