Question

【题目】已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．

（1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．

（2）在图①中，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．

（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE=2∠DOB．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）α；（3）60°或108°

【解析】

（1）根据平角的定义即可求出∠BOC，然后根据直角的定义和角平分线的定义即可求出∠DOE；

（2）根据平角的定义即可求出∠BOC，然后根据直角的定义和角平分线的定义即可求出∠DOE；

（3）设∠AOC=α，根据角平分线的定义即可求出∠COE，然后根据OD与直线AB的相对位置分类讨论，分别画出对应的图形，再用α表示出∠DOB即可列出方程，求出结论．

解：（1）由已知得∠BOC＝180°－∠AOC＝150°

又∵∠COD是直角，OE平分∠BOC

∴∠DOE＝∠COD－∠COE=∠COD－∠BOC＝90°－×150°＝15°

（2）由已知得∠BOC＝180°－∠AOC

由(1)知∠DOE＝∠COD－∠BOC，

∴∠DOE＝90°－ (180°－∠AOC)＝∠AOC＝α

（3）设∠AOC=α，则∠BOC=180°﹣α，

∵OE平分∠BOC，

∴∠COE=×（180°﹣α）=90°﹣α

分两种情况：

当OD在直线AB上方时，∠BOD=90°﹣α，

∵∠COE=2∠DOB，

∴90°﹣α=2（90°﹣α），

解得α=60°

当OD在直线AB下方时，∠BOD=90°﹣（180°﹣α）=α﹣90°，

∵∠COE=2∠DOB，

∴90°﹣α=2（α﹣90°），

解得α=108°．

综上所述，当∠AOC的度数是60°或108°时，∠COE=2∠DOB．