题目内容

设max{a，b}表示a、b中较大的数，如max{2，3}=3．
（1）求证：max{a，b}= $数学公式$
（2）如果函数y₁=2x+1，y₂=x₂-2x+4，试画出函数max{y₁，y₂}的图象．

（1）证明：①当a≥b时，max{a，b}=a， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =a，
∴max{a，b}= $\text{[math]}$
②当a＜b时，max{a，b}=b， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =b，
∴max{a，b}= $\text{[math]}$ ，
故有max{a，b}= $\text{[math]}$ ；

（2）解：y₂=（x-1）²+3，y₂的图象是顶点为（1，3），对称轴
为x=1，开口向上的抛物线，
解方程组 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，
即函数y₁与y₂的图象的交点为（1，3），（3，7），
函数max{y₁，y₂}的图象如图所示．
分析：（1）由于结果中含有绝对值，因此考虑两种情况：①当a≥b时，可知max{a，b}=a，经过计算可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =a，从而得证；②当a＜b时，可知max{a，b}=b，经过计算有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =b，从而得证，两种情况都说明，结论是正确的；
（2）先解方程组组 $\text{[math]}$ ，可得两个交点（1，3）和（3，7），函数y₁是一次函数，即是经过（1，3）和（3，7）的直线，而函数y₂的图象是顶点为（1，3），对称轴为x=1，开口向上的抛物线，在坐标轴中画图即可．
点评：本题考查了最大数的证明、二次函数性质、一次函数性质．要注意分情况讨论，能根据函数解析式能画出一次函数、二次函数的图象．