Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD交BC边于点M，BD=AC，∠BAC=∠ABD=120°，则BM：MC的值是    ； 作△ABC的中线CF交AM于G，则CG：GF的值是    ．

Answer 1

【答案】分析：过点A作AE⊥BC于E，先根据等腰三角形的性质得出BE=CE，再由AAS证明出△AME≌△DMB，得出EM=BM，进而求出BM：MC的值；
作△ABC的中线CF交AM于G，设CF与AE交于点H，连接FM．先根据三角形的中位线定理得出FM∥BD，FM=BD，再由AE∥BD，得出FM∥AE，然后根据平行线分线段成比例定理，求得CH=2HF，=，进而求出CG：GF的值．
解答：解：过点A作AE⊥BC于E．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴BE=CE，∠C=∠ABC=30°．
设BD=k，则AB=AC=2k．
在△BDM中，∠DBM=∠ABD-∠ABM=120°-30°=90°．
在△ABE中，∵∠AEB=90°，∠ABE=30°，AB=2k，
∴AE=k．
在△AME与△DMB中，
∵，
∴△AME≌△DMB（AAS），
∴EM=BM，
∵CE=BE=BM+EM=2BM，
∴MC=EM+CE=3BM，
∴BM：MC=BM：3BM=；
如图，作△ABC的中线CF交AM于G，设CF与AE交于点H，连接FM．
∵EM=BM，AF=BF，
∴FM∥BD，FM=BD=k．
∵AE∥BD，
∴FM∥AE，
∴==2，==，
∴CH=2HF，HE=FM=×k=k，
∴AH=AE-HE=k-k=k．
∵===，
令HG=4t，则GF=3t，HF=7t，CH=14t，
∴CG=CH+HG=18t，
∴CG：GF=18t：3t=6．
故答案为；6．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，综合性较强，有一定难度，正确地作出辅助线是解题的关键．